Математика фараонів: папірус Рінда та давньоєгипетська математика
Західна цивілізація завжди була зачарована цивілізацією, яка виросла вздовж річки Ніл близько 3000 років до нашої ери.
Грецькі інтелектуали, такі як Фалес, відвідали Єгипет і були вражені дизайном та математичною точністю форми пірамід.
Протягом тисячоліть Стародавній Єгипет вважався синонімом мудрості для цивілізацій Середземноморського басейну, але особливо Заходу.
Одним із текстів, що розкривають приклад цієї мудрості, є папірус Рінда (ще його називають папірус Ахмеса – на ім'я автора), документ, який видається звичайним підручником з математики. Але багато з того, що вчені знають про єгипетську математику, прийшло саме з цього тексту.
Відкриття та використання папірусу Рінда
Папірус Рінда – це документ, датований приблизно 1650 до нашої ери. Він був знайдений і придбаний шотландським археологом і антикваром Олександром Генрі Ріндом в 1858 в одному з міст на Нілі в Єгипті. Нині текст папірусу зберігається в Британському музеї.
Коли його було вперше досліджено вченими, було встановлено, що це математичний документ. Він був написаний писарем на ім'я Ахмес і складається з серії практичних завдань для писарів-початківців.
Математичні завдання розкривають важливу інформацію про те, як древні єгиптяни працювали з множенням, поділом та дробами.
Історичні передумови єгипетської математики
Стародавній Єгипет був однією з перших щодо розвинених, централізованих цивілізацій, що виникли в стародавньому Середземномор'ї, а можливо, і в усьому світі. Вона бере свій початок від землеробських громад, що виникли вздовж річки Ніл. Більшість Єгипту є пустелею, але Ніл забезпечує довгу вузьку смугу орних земель.
Ніл тече через вапнякові пагорби на заплаву. Зрештою, він закінчується дельтою, яка впадає у Середземне море. Регулярні повені вздовж Нілу роблять землю навколо річки особливо родючою для вирощування сільськогосподарських культур. Родючий ґрунт – одна з головних причин того, що Єгипту судилося стати центром цивілізації з розвиненим сільським господарством.
Є багато причин, через які древнім єгиптянам необхідно було вивчати математику. Одна з них була пов'язана з сільським господарством та пори року. Оскільки єгипетські хлібороби залежали від регулярного розливу Нілу, було корисно знати, коли настане повінь, щоб хлібороби могли підготуватися. Тому давні єгиптяни навчалися астрономії.
Єгипетські жерці згодом помітили, що сезон повеней віщує геліакічний схід зірки Сіріус. Тому єгиптяни дуже уважно стежили за рухом Сіріуса. А жерці пізніше використали ці розрахунки для створення єгипетського календаря.
Ще однією причиною, з якої математика була важливою для Єгипту і взагалі для давніх цивілізацій, була підтримка складного суспільства. Давнє єгипетський уряд мало вести облік податків і торгівлі, і він покладався на клас професійних переписувачів.
Ці переписувачі, крім навчання читання та письма, також мали вивчати математику. Більшість того, що відомо про те, як єгиптяни займалися математикою, міститься в папірусі Рінда та подібних документах.
Єгипетська математика, як вона розкрита в папірусі Рінда
Стародавні єгиптяни, схоже, не думали абстрактно про числа. Наприклад, якби ви назвали стародавній єгиптянці число 7, вона, швидше за все, спочатку подумала б про групу з 7 предметів, а не про поняття числа 7. Для стародавніх єгиптян числа були кількістю фізичних об'єктів, а не абстракціями, які існували окремо від об'єктів, що вони описували.
А проте, стародавні єгиптяни були дуже вправними у використанні арифметики для вирішення завдань у бухгалтерії та інженерії. Єгипетські цифри, як і римські, тісно пов'язані з єгипетською системою листа.
Єгипетські ієрогліфи, ймовірно, виникли з картинок, що використовувалися для позначення слів чи ідей. Згодом вони перетворилися на символи, що позначають звуки слів.
Ієрогліфи складаються із символів, які одночасно представляють слова та звуки слів. Ієрогліфи використовуються таким чином, щоб символи, що репрезентують звуки слів, можна було використовувати для написання цілих речень. Ієрогліфічні символи можуть мати кілька значень. Наприклад, зображення вуха може означати як "вухо", так і "звук".
У міру ускладнення єгипетського суспільства виникла потреба записувати податкові надходження, торгові угоди, розраховувати кількість матеріалів, необхідних для будівництва та виконувати інші завдання, що вимагають математичних розрахунків. Через війну ієрогліфічні символи стали позначати і числові величини. У єгиптян була система числення з основою 10.
У них був окремий символ для 1, 10, 100 і т. д. Існувала більш блокова система цифр, яка використовувалася у написах на кам'яних пам'ятниках та в офіційних документах. Більш зручний, скорочений набір цифр також використовувався переписувачами під час запису на папірусах.
У порівнянні з арабськими цифрами, які сьогодні використовуються в більшості країн світу для виконання математичних операцій, єгипетська система числення має обмеження щодо того, які математичні завдання можуть бути легко вирішені за її допомогою. Наприклад, за допомогою єгипетських цифр важко працювати з дуже великими числами.
Найбільше числове значення, представлене однією єгипетською цифрою, становить 1 мільйон. Якби математик хотів записати 1 мільярд за допомогою єгипетських цифр, це було б дуже громіздко та втомливо, оскільки йому довелося б писати символ 1 мільйон тисяч разів чи винаходити новий символ. Спочатку це може спрацювати, але що, якщо потрібно зобразити трильйон чи квадрильйон?
Обчислення дуже великих чисел за допомогою єгипетських цифр є недоцільним, тому що дуже великі числа громіздкі для подання, і кожного разу, коли числові значення стають занадто великими, щоб їх можна було практично уявити за допомогою існуючих символів, необхідно винаходити новий символ. Таким чином, єгипетська система числення менш гнучка, ніж арабська, у якій одні й самі десять символів можуть бути використані для представлення числа будь-якого розміру.
Також важко було б займатися алгеброю, використовуючи єгипетські цифри. У єгипетських цифрах відсутні спеціальні символи, наприклад, для позначення нескінченності чи негативних чисел. Причина цих обмежень, ймовірно, полягає в тому, що давньоєгипетським переписувачам не потрібно було працювати з негативними значеннями, нескінченністю або дуже великими числами.
Єгиптяни переважно займалися вирішенням математичних проблем у торгових угодах, бухгалтерському обліку та інженерних проектах, які не обов'язково вимагають математики більш просунутої, ніж геометрія та арифметика. Стародавні єгиптяни могли зазнавати труднощів при роботі з числами, що перевищують 1 мільйон, але, як правило, їм це і не потрібно, оскільки у своїй звичайній роботі вони, ймовірно, рідко стикалися з такими великими числами. Вони були також винахідливі у розробці методів множення, поділу, дробів та інших математичних операцій, що включають лише додавання та віднімання, для яких легко використовувати єгипетські цифри.
Як і в інших культурах, у стародавніх єгиптян були свої традиції та методи вирішення математичних завдань, які не завжди відповідають тим, що використовуються сьогодні. Додавання та віднімання в єгипетській математиці прості і зрозумілі.
Вони просто включають в себе складання або відібрання цифр з різними числовими значеннями до тих пір, поки не буде досягнуто певне число. Якщо переписувач хотів додати 20 до 76, щоб вийшло 96, він складав відповідні символи.
Єгипетський підхід до множення та поділу передбачає складання таблиці кратних чисел та використання її для виконання низки операцій складання та віднімання. Наприклад, щоб помножити 15 на 45 складається таблиця з рядом чисел, які послідовно подвоюються, починаючи з 1 в одному стовпці.
Послідовне подвоєння триває доти, доки буде досягнуто число 15. Другий стовпець складається з чисел, кратних 45, відповідних числам першому стовпці. Це показано у таблиці нижче.
Оскільки 16 > 15, у стовпці 1 нам потрібно піднятися лише до 8. Значення у стовпці 2 будуть кратними 45, помноженими на відповідні записи у стовпці 1. Після складання таблиці числа у стовпці 1, сума яких дорівнює 15, позначаються.
В даному випадку 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Оскільки для отримання суми 15 необхідні всі записи в стовпці 1, підсумовуються всі записи в стовпці 2. 45 + 90 + 180 + 360 = 675. Таким чином, 15 помножити на 45 рівно 675. Поділ – те саме, але у зворотному порядку.
Дроби були важливими у стародавньому світі для торгових операцій. У Стародавньому Єгипті дроби також представлялися інакше, ніж сьогодні. Наприклад, 2/5 записувалося як 1/3+1/15. Крім того, дроби завжди повинні бути представлені у вигляді одиниць або дробів з чисельником 1.
Математика та давньоєгипетський світогляд
Хоча стародавні єгиптяни відомі вражаючими інженерними досягненнями та астрономічними обчисленнями з використанням математичних розрахунків, вони не внесли багато нового в саму галузь математики. Вони були набагато розвиненіші, ніж оточуючі їх тоді цивілізації, з погляду їх математичних знань.
Єгиптяни створювали календарі, будували піраміди і храми і керували однією з перших та найдовговічніших цивілізацій в історії, використовуючи в основному лише основи арифметики та геометрії. Практично немає свідчень того, що вони зробили багато для створення концепцій або ідей про математику, які були невідомі іншим суспільствам того часу.
Єгиптяни використовували особливі числові співвідношення, такі як золотий перетин. Однак є підозри, що давньоєгипетські переписувачі не до кінця усвідомлювали його значення.
Давні єгиптяни просто виявили, що ці співвідношення корисні для будівництва пам'ятників. Немає жодних доказів того, що вони дбали чи визнавали теоретичні наслідки золотого перетину.
Хоча можливо, що існували якісь місцеві єгипетські еквіваленти Фалеса та Евкліда, але історичні записи свідчать про те, що єгипетська культура була стурбовані практичним застосуванням математики, ніж її теоретичними концепціями. Наука та математика були призначені для практичних занять, таких як проектування, бухгалтерський облік та складання календарів.
Таке ставлення до математики може вказувати на важливу різницю між тим, як стародавні єгиптяни і більшість стародавніх культур бачили світ, і тим, як деякі з грецьких філософів досократівського періоду в Середземномор'ї почали бачити світ у 6 столітті до нашої ери.
Стародавні єгиптяни, як і інші давні цивілізації, пояснювали світ за допомогою міфології. Міфологія відрізняється від науки тим, що вона шукає взаємозв'язку та телеологію для пояснення світу.
Міфологія не питає про те, як світить Сонце, чи з чого воно складається. Міфологія запитує, якою є кінцева мета Сонця і що це означає для людства і богів.
Науковий світогляд, з іншого боку, більше цікавиться описом та процесами. Цифри зазвичай не говорять про те, що спонукає богів посилати дощ, щоб урожай зростав.
Вони також не пояснюють мотивацію бога сонця, що перетинає небо, щоб принести світло у світ, але вони описують, як рухається сонце та які атмосферні умови необхідні для дощу. Числа не пояснюють сенс і мету, але вони описують процеси та механізми.
Наука запитує: "Що таке Всесвіт і як він влаштований?". Міфологія запитує: "Чому існує Всесвіт і що це означає для мене, моєї сім'ї, мого суспільства, мого народу та моїх богів?".
Причина, через яку деякі давньогрецькі філософи так цікавилися числами, можливо, частково полягала в тому, що вони були зацікавлені в описі фізичного світу та процесів, що керують ним. У них зароджувався науковий чи протонауковий світогляд.
Але в стародавніх єгиптян було переважно міфологічне світогляд. Числа описували світ, але не ту його частину, яка їх найбільше цікавила.
Якщо адаптувати цитату, приписувану Галілео Галілею, то давні єгиптяни були спантеличені питанням: “Як потрапити на небеса?”. А досократівські грецькі філософи, які відвідали Єгипет, вже запитували: “Як влаштовані небеса?”.
Прямо чи опосередковано, давні єгиптяни вплинули на західну і ісламську цивілізацію. Сучасний світ багато в чому завдячує їм та їхнім переписувачам, які змогли побудувати піраміди та управляти імперською економікою, маючи менше математичних знань, ніж сучасний учень середньої школи.
